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帶電粒子在磁場中的運動的最小面積問題
在高三物理復習中，帶電粒子在磁場中的運動的問題是重點內容。其中有一類最小面積的問題，這類問題的規律性很強，本文作一歸納，供大家參考。 已知帶電粒子的進、出磁場的方向，帶電粒子在磁場中運動，軌跡圓的圓心在以進出磁場方向夾角的角分線上。由已知條件求軌跡圓半徑并在對角線上確定位置，畫出運動軌跡，就可以確定磁場的最小面積。下面我就以幾道典型題驗證這個思路。 例題1.一勻強磁場，磁場方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁場分布在以O為中心的一個圓形區域內。一個質量為m、電荷量為q的電帶粒子，由原點O開始運動，初速度為v，方向沿x正方向。后來，粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖所示。不計重力的影響。求磁場的磁感應強度B的大小和xy平面上磁場區域的半徑R。 解：粒子在磁場中受洛倫茲力作用，做勻速圓周運動，設其半徑為r， qvB=m■① 據此并由題意知，粒子在磁場中的軌跡的圓心C必在y軸上，且P點在磁場區之外。過P沿速度方向作延長線，它與x軸相交于Q點。作角PQO的對角線，與y軸的交點就是C點。這樣也求得圓弧軌跡的圓心C，如圖所示。 由圖中幾何關系得 L=3r② 由①、②求得 B=■③ 圖中OA的長度即圓形磁場區的半徑R，由圖中幾何關系可得 R=■L④ 例題2.如圖所示，第四象限內有互相正交的勻強電場E與勻強磁場B■，E的大小為0.5×10■V/m，B■大小為0.5T；第一象限的某個矩形區域內，有方向垂直紙面向里的勻強磁場B■，磁場的下邊界與x軸重合。一質量m=1×10■kg、電荷量q=1×10■C的帶正電微粒以某一速度v沿與y軸正方向60°角從M點沿直線運動，經P點即進入處于第一象限內的磁場B■區域。一段時間后，小球經過y軸上的N點并與y軸正方向成60°角的方向飛出。M點的坐標為（0，-10），N點的坐標為（0，30），不計粒子重力，g取10m/s■。 （1）請分析判斷勻強電場E■的方向并求出微粒的運動速度v； （2）勻強磁場B■的大小為多大？ （3）B■磁場區域的最小面積為多少？ 解：（1）由于重力忽略不計，微粒在第四象限內僅受電場力和洛倫茲力的作用，且微粒做直線運動，速度的變化會引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運動。這樣，電場力和洛侖茲力大小相等，方向相反，電場E的方向與微粒運動的方向垂直，即與y軸負方向成60°角斜向下。（2分） 由力的平衡有 Eq=B■qv ∴v=■=■m/s=10■m/s （2）作進出磁場方向的夾角，作出夾角的對角線，圓心就在對角線上。半徑垂直于MP。畫出微粒的運動軌跡如圖。 由幾何關系可知粒子在第一象限內做圓周運動的半徑為R=■m 微粒做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，即 qB■v=m■ 解之得B■=■T （3）由圖可知，磁場B■的最小區域應該分布在圖示的矩形PACD內。 由幾何關系易得PD=2Rsin60°=0.2m PA=R（1-cos60°）=■m 所以，所求磁場的最小面積為S=■·■=■×■=■m■ 例題3.一個質量為m，帶+q電量的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點垂直于AC邊飛出該三角形，可在適當的位置加一個垂直于紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區域內，且不計粒子的重力。試求： （1）該粒子在磁場里運動的時間t； （2）該正三角形區域磁場的最小邊長； （3）畫出磁場區域及粒子運動的軌跡。 解： （1）如圖，正三角形區域磁場的邊長最小時，三角形DEF為磁場區域，⊙O為粒子運動的軌跡，與三角形DEF的兩邊DE、DF相切。 （2）由qvB=m■，且周期T=■，得軌跡半徑r=■，T=■. 該粒子在磁場里運動的時間t=■T，即t=■. （3）DG為底邊EF上的高，DG=DO+OG=2r+rcos30°，則正三角形區域磁場的最小邊長為： L=■=■，解得L=■（■+1）. 對于這類問題，正確畫出運動軌跡和確定圓心是解決的關鍵。
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