關于拋物線的十個最值問題

本文用初等方法討論了與拋物線有關的若干幾何最值問題,得到了十個有趣的結論.為方便讀者摘用, 現用定理形式敘述如下:

定理1.拋物線的所有焦半徑中,以過頂點的焦半徑為最短.

證明:不妨設拋物線的極坐標方程為 ρ=                   ,則顯然有ρ≥    ,其中等號成立當且僅當θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半徑通過拋物線的頂點時.證畢.

定理2.拋物線的過焦點的所有弦中,以拋物線的通徑為最短.

證明:設拋物線極坐標方程為 ρ=                 ,焦點弦為AB,且設A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),則有

         │AB│=ρ1+ρ2 =                 +                             =                       ≥ 2p =通徑長,

其中等號成立當且僅當θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB為通徑時.證畢.

定理3.設A(a,0)是拋物線 y2=2px(p＞0)的對稱軸上的定點,M(x,y)是拋物線上的動點,則

          │MA│m in =                                              

證明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2  = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知結論成立.證畢.

定理4.設A(a,b)是拋物線 y2=2px(p＞0)內一定點,

F是焦點,M是拋物線上的動點,則                  

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